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Números Primos I: Hechos elementales

Hay pocas cosas más simples que los llamados números naturales: $1,2,3,4...$, y el neófito se siente ligeramente extrañado al ser informado que existe toda una rama de las matemáticas, la Teoría de Números o Aritmética, que se dedica al estudio de tales objetos.

Uno de los temas clásicos de la Aritmética son los números primos.

Algunos números enteros pueden descomponerse como un producto de factores más pequeños. Por ejemplo,

\begin{displaymath}
10 = 2\times 5, \qquad 18 = 2\times 3^2, \qquad 16 = 2^4.
\end{displaymath}

Estos son los llamados números compuestos. Los números primos son los enteros mayores que 1 que no pueden descomponerse.

Todo número entero tiene al menos 2 factores, al 1 y a sí mismo. Estos son los factores triviales de cualquier número. Los números compuestos son entonces los que tienen más de 2 factores y los números primos son los que tienen exactamente 2 factores, los factores triviales.

El número 1 es especial y no se considera primo ni compuesto, pues tiene sólo un divisor. Por lo tanto, el menor número primo es 2 el cual, además, es el único número primo par.

Todo número entero puede descomponerse en un producto cuyos factores son sólo números primos. Si se trata de un número compuesto, puede descomponerse sucesivamente hasta que los factores no se puedan descomponer más, es decir, hasta que sean primos. Por ejemplo,

\begin{eqnarray*}
360 & = & 180 \cdot 2 \\
&=& 90\cdot 2\cdot 2 \\
&=& 45 \...
...\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\
&=& 5 \cdot 3^2 \cdot 2^3.
\end{eqnarray*}

Así, muchos ven a los números primos como los antiguos átomos eran vistos por los físicos, como las unidades indivisibles que conforman todos los compuestos (hoy sabemos que los átomos están lejos de ser indivisibles). Esto es producto de la usual confusión del lenguaje matemático con el lenguaje usual. En este caso, se trata de la palabra división. Pero no no ocuparemos de tales puntos de vista. El hecho de que los números primos generen a todos los números naturales no nos sorprende demasiado. De hecho, nuestro sistema de numeración es capaz de generar cualquier número con sólo diez dígitos: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Se pueden construir fácilmente listas con todos los números primos hasta una cantidad dada. En el proceso de la Criba de Erastóstenes, se escriben todos los números hasta un número dado $N$ y luego se van tachando los múltiplos de 2 (excepto el 2). Depues se tachan los múltiplos de 3 entre los restantes, después los de 5 y así sucesivamente hasta eliminar todos los números compuestos. Por ejemplo, tenemos una tabla para $N=100$.

$\not$1 2 3 $\not$4 5 $\not$6 7 $\not$8 $\not$9 $\not$10
11 $\not$12 13 $\not$14 $\not$15 $\not$16 17 $\not$18 19 $\not$20
$\not$21 $\not$22 23 $\not$24 $\not$25 $\not$26 $\not$27 $\not$28 29 $\not$30
31 $\not$32 $\not$33 $\not$34 $\not$35 $\not$36 37 $\not$38 $\not$39 $\not$40
41 $\not$42 43 $\not$44 $\not$45 $\not$46 47 $\not$48 $\not$49 $\not$50
$\not$51 $\not$52 53 $\not$54 $\not$55 $\not$56 $\not$57 $\not$58 59 $\not$60
61 $\not$62 $\not$63 $\not$64 $\not$65 $\not$66 67 $\not$68 $\not$69 $\not$70
71 $\not$72 73 $\not$74 $\not$75 $\not$76 $\not$77 $\not$78 79 $\not$80
$\not$81 $\not$82 83 $\not$84 $\not$85 $\not$86 $\not$87 $\not$88 89 $\not$90
$\not$91 $\not$92 $\not$93 $\not$94 $\not$95 $\not$96 97 $\not$98 $\not$99 $\not$100

Ejercicio 1. Muestre que en la tabla anterior basta terminar el proceso de tachar múltiplos hasta los múltipos de 7. Es decir, después de tachados todos los múltiplos de 7, todos los números resultantes son primos y no es necesario seguir el proceso.


Ejercicio 2. En general, en una tabla donde se realiza la Criba de Erastóstenes hasta un número dado $N$, muestre que basta continuar el proceso hasta los múltiplos del menor número primo menor que $\sqrt N$. As, por ejemplo, para $N=400$ basta tachar hasta los múltiplos de 19 ( $\sqrt{400}= 20$).

Antes de la era de los computadores, se llegaron a construir manualmente tablas completas de números primos hasta 10.000.000 mediante perfeccionamentos del método de la criba. Observando tales datos, se han hecho diversas conjeturas sobre los números primos, cuya verificación o refutación resulta a veces extremadamente compleja.

Se suele escribir $p_n$ para el $n$-ésimo número primo, de manera que

\begin{displaymath}
p_1 =2, \ p_2 =3, \ p_3 =5, ... , p_{10} =29 , ... .
\end{displaymath}

La siguiente es una tabla con los números primos menores que 1000.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107
109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521
523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887
907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

De acuerdo a nuestra tabla, por ejemplo, $p_{100} = 541$ y $p_{168} =997$.

El gran matemático Leonhard Euler, que con su prodigiosa memoria podía recitar sin equivocarse la lista de los 100 primeros números primos, además de sus potencias cuadradas, cúbicas, cuartas, ¡ quintas y sextas ! decía lo siguiente:
``Los Matemáticos han tratado en vano hasta el día de hoy descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, y hay razones para pensar que este es un misterio en el cual la mente humana jamás penetrará''

Un experto en teoría de los números, Don Zagier, dice al respecto:
`` Hay 2 hechos acerca de la distribución de los números primos que quedan grabados firmemente en la memoria. El primero es que, a pesar de su simple definición y de su rol como ladrillos constructores de los números naturales, los números primos aparecen como la mala hierba entre los naturales, sin obedecer ninguna otra ley que el azar, y nadie puede predecir donde aparecerá el siguiente. El segundo hecho es aun más sorprendente, porque establece exactamente lo opuesto: que los números primos muestran una estrica regularidad, que existen leyes que gobiernan su comportamiento y ellos obedecen estas leyes con precisión militar''

Al examinar con detención nuestra tabla puede llamarnos la atención el siguiente hecho: los números primos se van haciendo cada ves más escasos. Entre los primeros 100 números encontramos 25 primos. En el cuarto bloque de 100 números, del 401 al 500, hay 17 primos, y en el bloque del 901 al 1.000 observamos sólo 14. Parece haber una declinación en la cantidad de primos.

Se puede extender nuestra lista de primos. Al hacer una lista hasta 1.000.000, podríamos ver que en el último bloque de 100, desde 999.901 a 1.000.000, hay solamente 8 primos. Al continuar hasta un trillón, encontramos sólo 4 en el último bloque de 100, a saber, los números primos

\begin{displaymath}
999.999.999.937, \qquad 999.999.999.959, \qquad 999.999.999.961, \mbox{ y } \ 999.999.999.989.
\end{displaymath}

Esta disminución de la cantidad de primos al avanzar en la sucesión de los números naturales lleva a la cuestión de si en algún momento simplemente se acaban, lo que constituye una de las primeras preguntas acerca de los números primos:


\begin{expl}
\begin{center}
> Cu\'antos n\'umeros primos hay ? > Una cantidad finita ? > Infinitos ?
\end{center}
\end{expl}

La respuesta a esta pregunta fue dada nada menos que por EUCLIDES, alrededor del año 300 antes de Cristo. Su razonamiento ha quedado como modelo de demostración matemática.

Antes de dar la respuesta a la pregunta, indiquemos otro tema relacionado.
En las diversas tablas pueden ubicarse lagunas entre los primos. La primera de ellas es entre los primos 23 y 29, entre los cuales hay un salto de 5 números compuestos seguidos, 24, 25, 26, 27 y 28. Entre 113 y 127 hay otra laguna y, en nuestra tabla, la laguna más grande se encuentra entre 523 y 541.

Si se quiere encontrar una laguna, se debe buscar una sucesión lo más larga posible de números consecutivos no primos. Esto es bastante simple de hacer, y se tiene el siguiente hecho.


\begin{expl}
\begin{center}
Existen sucesiones arbitrariamente grandes de n\'umeros consecutivos no primos.
\end{center}
\end{expl}

Así, dentro de los números naturales hay grandes lagunas en las cuales no se encuentra ningún primo. Por ejemplo, un millón de números seguidos que no contienen ningún primo.

Ejercicio 3. Se define el factorial de un número $n$ como el producto

Por ejemplo, $3! = 2\cdot 3 =6$ y $5! = 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 =120$. Considere el número $k =1+20!$, uno más el factorial de 20. Demuestre, sin calcular $k$, que $k+1, k+2, ..., k+19$ son 19 números consecutivos no primos. De hecho, $k+1$ es divisible por 2, $k+2$ por 3, $k+3$ por 4, etc.

Ejercicio 4. Usando factoriales, demuestre que, dado un número arbitrariamente grande $n$, existe una sucesión de $n$ números consecutivos no primos.


La disminución paulatina de la cantidad de números primos y el hecho que existan lagunas arbitrariamente grandes indican que Euclides debe haber dado muy buenas razones para afirmar el siguiente


\begin{expl}
\begin{center}
 Existen infinitos n\'umeros primos
\end{center}
\end{expl}

Euclides demuestra este resultado mediante un razonamiento por reducción al absurdo. Lo exponemos en la forma de una conversación imaginaria entre Euclides y Pedrito el curioso.

[Pedrito:] Maestro, después de mucho pensarlo creo que no puede haber una cantidad infinita de números primos. Se van haciendo cada ves más escasos y tienen grandes lagunas.

[Euclides:] Esos hechos son interesantes, es verdad, pero no son concluyentes como para afirmar lo que tu dices ¿ Entonces piensas que hay sólo una cantidad finita de primos ?

[Pedrito:] Si maestro. No creo posible otra cosa.

[Euclides:] Sea entonces y ¿ Cuántos crees que son exactamente ? ¿ Un millón ? ¿ Cien millones ?

[Pedrito:] Ah, bueno maestro, eso es otra cosa. Contarlos puede requerir mucho tiempo.

[Euclides:] Bien, estimado pedrito, veo que algo has aprendido. Efectivamente es muy distinto saber que hay un número finito a contarlos. Pero, supongamos que estás en lo cierto. Entonces, aunque no podamos contarlos, debe haber una cantidad determinada de primos, puede ser un número muy grande. Digamos que tenemos $N$ número primos.

[Pedrito:] Ya veo, $N$ puede ser 1.000.000, cien millones o incluso más.

[Euclides:] Si. Además, tendra que haber un último primo, que será $p_N$, y todos los primos serán entonces $
p_1, p_2, ...., p_N.
$

[Pedrito:] Cierto, pero maestro, eso es bastante obvio incluso para un aprendiz como yo. El primer primo es $p_1=2$, le siguen $p_2=3$ y $p_3=5$, hasta el más grande, $p_N$.

[Euclides:] Pedrito, te he dicho muchas veces que en lo simple se encuentran las grandes verdades. Te dejas impresionar por la declinación de los primos y las grandes lagunas, pero no ves que tu afirmación no puede sostenerse, pues simplemente no puede haber una cantidad finita de números primos.

[Pedrito:] Con todo respeto maestro, usted también me ha enseñado que debo confiar en mis razonamientos y no someterme sólo por el prestigio de otra persona si no da buenos motivos. No veo porqué no puede haber una cantidad finita de primos.

[Euclides:] Bien, te daré los motivos que me pides, pues baso mi autoridad no en el temor que puedan tener mis discípulos a contradecirme, sino que en la fuerza de mis argumentaciones. Así, quedamos en que hay $N$ primos $p_1, ..., p_N$.

[Pedrito:] Si maestro

[Euclides:] Por otro lado, sabemos que todo número puede descomponerse en factores primos.

[Pedrito:] Cierto, y eso es uno de los motivos por los cuales los primos son tan interesantes.

[Euclides:] En particular, todo número compuesto (no primo) admite al menos un divisor primo.

[Pedrito:] ... maestro ¿ son necesarias esas obviedades ?

[Euclides:] Bien, pues dime, el siguiente número

\begin{displaymath}
P = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_N +1 ,
\end{displaymath}

que resulta de multiplicar todos los primos y sumar uno ¿ Es primo ?

[Pedrito:] mmm, no, no puede ser primo. Ese número es mayor que $p_N$, el cual es el mayor de todos los primos.

[Euclides:] Luego, como no es primo, es compuesto, pues el único número que no es primo ni compuesto es el 1 y, ciertamente, $P\ne 1$. Sin embargo, resulta que $P$ no admite ningún divisor primo.

[Pedrito:] Cierto! Si divido $P$ por $p_1$, da resto 1, por $p_2$ igual, y por cada $p_i$ igual. Luego, ninguno de los $p_i$ puede dividir a $P$.

[Euclides:] ¿ Qué concluyes de esta paradoja con respecto a $P$?

[Pedrito:] A ver. $P$ no admite divisores primos, por lo cual no se puede descomponer. Por lo tanto, es primo. ¡Pero no es primo! Luego, $P$ no puede existir.

[Euclides:] Pero existe pedrito, existe...

[Pedrito:] Si, $P$ es el producto de todos los primos más uno. $P$ no puede existir pero existe. ¡Es absurdo!

[Euclides:] Exactamente, tu lo has dicho, hay infinitos números primos porque resulta absurdo que haya una cantidad finita. Si hay una cantidad finita, se pueden multiplicar todos y sumar uno, formando nuestro número $P$ que no puede existir. Por lo tanto, simplemente no puede haber una cantidad finita de primos, a pesar de la declinación y las lagunas, luego de una gran laguna siempre aparecerá otro. Y aunque declinen y sean cada ves más escasos, de ves en cuando aparecen porque...

[Pedrito:] ... porque no pueden dejar de aparecer, porque si se acaban, ¡aparece el famoso e inexistente número $P$!

[Euclides:] Esto es un ejemplo de demostración por reducción al absurdo pedrito.

[Pedrito:] Sea, venerado maestro, gracias por vuestra también sorprendente paciencia.


Gracias al razonamiento de Euclides, sabemos que existen entonces números primos arbitrariamente grandes. Históricamente, siempre ha existido una carrera por encontrar el número primo más grande conocido. En Noviembre de 2004, el mayor número primo conocido era

\begin{displaymath}
2^{13.466.917}-1,
\end{displaymath}

el cual tiene más de 4 millones de cifras.

Hay muchas cosas interesantes relacionadas con los números primos, la más llamativa de las cuales tiene que ver con la distribución de los primos entre los números naturales. Trataremos tales temas en otras exploraciones.


(Continuará)